Dall'esercizio trabocchetto al moto di un elettrone in un metallo |

Dall'esercizio trabocchetto al moto di un elettrone in un metallo

Marzo 23rd, 2022 | by Marcello Colozzo |

equazione di schrödinger unidimensionale, effetto tunnel,particella libera — **Fig. 1.**

Ho scritto di getto su un esempio numerico per chiarire l'esercizio di ieri del Passatore. Un esempio banale è il gradino di potenziale, ma qualcuno potrebbe obiettare che non ci sono variazioni di potenziale (tranne nella discontinuità x=0), per cui tutto è come SE la particella fosse LIBERA DA FORZE.

In un modello più realistico (ma non tanto, siamo in uno scenario di simulazione) si può considerare un metallo unidimensionale che si estende in [0,+oo] per cui l'energia potenziale sperimentata da un elettrone è

V(x)=V₀*sin(2px/a) per x>=0 e V(x)=0, altrimenti. Qui a>0 è il passo del reticolo. Vediamo subito che l'hamiltoniano ha spettro puramente continuo, e sembra che sia E>-V₀, però ci sono problemi nella regione x<0, per cui consideriamo E>=-V₀. Per E>V₀, la regione classicamente accessibile è tutto l'asse reale, e la funzione d'onda ψ(x)=Asin(k*x) va benissimo: è sovrapposizione di autostati con +k e -k (non investighiamo troppo sul ruolo di k), anzi possiamo assumerla come stato iniziale: ψ₀(x)=Asin(k*x). Per risolvere l'equazione di Schrödinger in x>0 ci affidiamo a Mathematmica, visto che l'equazione non si risolve in forma chiusa. I risulati sono OK.

Invece, per 00 ci aspetta un processo di tunneling. Tuttavia l'integrazione numerica dà risultati stravaganti: