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«Gas» di francobolli

Il sistema fisico in esame è composto da N particelle (=francobolli) non interagenti e «appoggiate» sulla scrivania. Ne segue che le forze agenti sulla singola particella, sono: P=mg (peso) e la reazione normale del vincolo R=-P, per cui la particella è è in quiete. Tuttavia, abbiamo una energia termica:

dove k_B è la costante di Boltzmann e T la temperatura di equilibrio termodinamico. Siccome stiamo considerando «oggetti classici» (più precisamente, un gas ideale di particelle), la funzione di distribuzione (i.e. densità di probabilità) di trovare una particella nell'elemento di volume dV=dxdydz, è

dove H(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}) è l'hamiltoniana di singola particella, mentre A è una costante di normalizzazione, cioè tale che

da cui

nota come distribuzione di Boltzmann. Nel nostro caso l'hamiltoniana di singola particella è H(x,y,z)=V(x,y,z) essendo questa l'energia potenziale del campo di forze gravitazionali. Precisamente, orientando la terna di assi cartesiani Oxyz con il piano coordinato xy coincidente con il piano della scrivania, e l'asse z orientato verso l'alto, si ha V(z)=mgz. Quindi la probabilità di trovare un francobollo alla quota z è

Sostituendo i dati numerici, otteniamo: