Equazione differenziale di Legendre. Polinomi di Legendre

Dicembre 15th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Soluzione

Il punto x=0 è un punto ordinario per l'equazione differenziale assegnata. Quindi in un intorno di x=0

da cui le derivata prima e seconda:

Inserendo tutto questo nell'equazione assegnata

Il trucco consiste nel far comparire un'unica sommatoria, per cui dobbiamo abbassare il minimo indice. Ciò è immediato nella seconda e terza sommatoria perché c'è il termine k

Nella prima invece, eseguiamo il cambio di indice k'=k-2 per cui

dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridefinito k' in k, in quanto trattasi di un indice muto. Segue

È chiaro che dovrà annullarsi il termine tra parentesi, per ogni k

Dopo qualche semplice passaggio

cioè la formula di ricorrenza per i coefficienti dello sviluppo in serie che definisce la soluzione generale in un intorno di x=0. Rammentiamo che i primi due coefficienti sono arbitrari e come tali sono costanti di integrazione. Abbiamo