» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Topologia elementare in R¹. Punto di accumulazione per un insieme. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass

Novembre 28th, 2021 | by Marcello Colozzo |

---

Sia X un sottoinsieme non vuoto di R.

Definizione 1
Un punto x₀ di R è punto di accumulazione (o punto limite) per X, se in ogni intorno di x₀ cade almeno un punto di X distinto da x₀. In simboli:

È necessario sottolineare che tale proprietà deve essere verificata in ogni intorno di x₀. Inoltre, il punto x₀ può appartenere o non appartenere ad X. Cioè

Proposizione
Se in ogni intorno di x₀ cade almeno un punto di X distinto da x₀, necessariamente ne cadono infiniti.

Dim.

Procediamo per assurdo, asserendo che in un qualunque intorno di x₀ cade un numero finito di punti di X\{x₀}. Precisamente, se

è un intorno di x₀ assegnato ad arbitrio, diciamo che ivi cadono i punti

Poniamo

per cui

Segue

essendo

Abbiamo quindi trovato un intorno di x₀ in cui non cade alcun punto di X distinto da x₀. Ne segue che x₀ non è di accumulazione per X, ma ciò è contro l'ipotesi, da cui l'asserto.

Dalla proposizione appena dimostrata segue che un insieme dotato di almeno un punto di accumulazione, è necessariamente infinito. Per quanto precede, se x₀ è di accumulazione per X, non è detto che x₀ appartenga a X. Di contro se x₀ appartiene a X e non è di accumulazione per X, significa che esiste almeno un intorno di x₀ in cui non cade alcun elemento di X\{x₀}. In tal caso diremo che x₀ è punto isolato di x.

La definizione 1 riguarda la nozione di punto di accumulazione al finito. Rammentiamo la nozione di intorno di +oo e -oo:

Definizione 2
Sia X illimitato
+oo [-oo] è di accumulazione per X, se in ogni intorno di +oo [-oo] cade almeno un punto di X.

Abbiamo visto che

L'implicazione è invertibile? La risposta è banale per gli insiemi illimitati. Per essere più specifici, un qualunque insieme non limitato superiormente, ha +oo per punto di accumulazione. Per gli insiemi limitati, sussiste il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema di Bolzano-Weierstrass

Definizione 3
Comunque prendiamo un sottoinsieme X di R, l'insieme dei suoi punti di accumulazione al finito:

si dice il derivato di X.

Definizione 4
Un insieme X è chiuso se contiene il proprio derivato:

Un insieme X costituito solo da punti isolati è chiuso perché

Viceversa, se il derivato è non vuoto e X è chiuso, necessariamente ogni punto di X è di accumulazione per X.
Definiamo

Se x₀ è un punto di tale insieme, significa che si verifica uno dei seguenti casi:

Definizione 5
Un qualunque punto di

si dice punto di aderenza o punto aderente di X, e il predetto insieme si chiama l'aderenza di X.

Si dimostra che X "segnato" è chiuso i.e. contiene il proprio derivato. Più precisamente, X è chiuso se coincide con la propria aderenza:

Ciò suggerisce di denominare chiusura di X, la sua aderenza.

Definizione 6
Un insieme chiuso e limitato si dice insieme compatto.

Ad esempio, gli intervalli [a,b] con a
mentre +oo è punto di accumulazione, in quanto N non è limitato superioremente.
Consideriamo l'insieme

L'estremo superiore è

L'estremo inferiore

Ne segue che X è limitato e infinito. Quindi per il teorema di Bolzano-Weierstrass, X ammette almeno un punto di accumulazione, che il punto x=0. La chiusura di X è

Articoli correlati