Entropia di una pandemia

Ottobre 18th, 2021 | by Marcello Colozzo |

pandemia,entropia,funzioni sommabili — **Fig. 1**

Denotiamo con x(t) la funzione che enumera i contagiati da inizio pandemia. Ne consegue che la derivata prima di tale funzione:

esprime il tasso giornaliero dei contagi (a rigore, dovremmo dapprima campionare la variabile tempo in giorni). Supponendo che tali funzioni siano definite in [0,+oo), il numero di contagiati totali è dato dal seguente integrale generalizzato:

che è necessariamente convergente. Quindi, un qualunque modello matematico di pandemia è caratterizzato da una funzione

sommabile in [0,+oo). Un modello realistico è quello in cui tale funzione è, per t->oo, un infinitesimo di ordine maggiore di 1 (rispetto all'infinitesimo di riferimento 1/t). Più precisamente, possiamo modellizzare il processo pandemico attraverso un sistema dinamico autonomo con un'assegnata condizione iniziale che dà luogo al seguente problema di Cauchy:

In tale classe di sistemi autonomi, selezioniamo tutti e soli quelli caratterizzati da una derivata prima della funzione x(t), sommabile in [0,+oo). Con ovvio significato dei simboli:

Come è noto, l'annullarsi all'infinito con sufficiente rapidità, è una condizione sufficiente ma non necessaria per la sommabilità di una funzione. Ad esempio, è facile persuadersi che un tasso di contagio giornaliero:

è un elemento dello spazio funzionale L([0,+oo)). Per essere più specifici (in unità adimensionali):

Cioè:

In fig. 1 riportiamo il grafico del tasso giornaliero di contagi, in cui vediamo l'esistenza di un'infinità numerabile di picchi di ampiezza progressivamente crescente, ma sempre più sottili. In tal modo l'area del rettangoloide relativo a tale funzione e di base [0,+oo) è pari a N < +oo, cioè il numero totale di contagi generati dalla pandemia.

In linea di principio, nulla ci impedisce di costruire un insieme statistico di pandemie ciascuna descritta da un sistema autonomo

con f funzione lipschitziana le cui soluzioni hanno per derivata prima elementi dello spazio funzionale L([0,+oo)). Tra queste vi saranno quelle che si «smorzano» all'infinito con sufficiente rapidità, ma anche quelle che hanno un andamento del tipo di quelllo appena studiato. Potrebbe essere interessante definire grandezze tipiche della meccanica statistica classica come ad esempio, l'entropia e se il sistema evolve verso una configurazione di equilibrio che massimizza tale grandezza.

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