Barriera di potenziale. «Caduta» verso il centro

Aprile 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Riprendiamo l'esempio suggestivo della Luna, dove avevamo stabilito l'impossibilità di una «caduta» radiale del nostro satellite sulla Terra. Restando nell'approssimazione di campo centrale, mostriamo una ulteriore impossibilità: il passaggio della Luna per il centro di forza, i.e. per la Terra. In altre parole, vogliamo stabilire l'eventuale esistenza di orbite passanti per il centro di forza. A tale scopo, riprendiamo l'equazione differenziale:

dove ci riferiamo al caso generale di una particella di massa m, rammentando l'espressione del potenziale efficace che si esprime come somma del potenziale centrale e del potenziale centrifugo:

da cui notiamo che il termine centrifugo è una barriera di potenziale infinitamente alta. Ne segue che il potenziale efficace è a sua volta una barriera di potenziale infinitamente alta, per tutti e soli i potenziali V(r) tali che

Infatti in fig.

vediamo che in tal caso, la particella non può «penetrare» la barriera di potenziale. In altri termini, il potenziale impedisce la «caduta» verso in centro, e ciò si verifica per ogni valore dell'energia E > 0. Si badi che tale locuzione si riferisce a una caduta sia radiale che angolare.
Il potenziale efficace diverge per i potenziali V(r) continui in r=0 (o al più con una discontinuità eliminabile):

e per quelli divergenti positivamente:

Studiamo i potenziali divergenti negativamente:

osservando che i potenziali di interesse fisico divergenti negativamente in r=0, sono ivi infiniti dotati di ordine. Per fissare le idee, consideriamo un potenziale V(r) tale che in un intorno destro di r=0 si comporta come

Ne segue

per α=2

In definitiva:

Il caso α=2 è ambiguo, poichè dipende dalla componente z del momento angolare, dalla massa della particella, e dalla costante k che determina il potenziale.
Il caso della buca di potenziale infinitamente profonda, implica che per ogni valore negativo dell'energia, la regione accessibile nella coordinata radiale è [0,r_max], per cui la particella transita per l'origine. In fig.

riportiamo i tre casi distinti (α < 2,α=2,α > 2) ove gli ultimi due realizzano una buca di potenziale.
In generale, per potenziali -k/r^α con α > 2, la regione accessibile è il cerchio di centro l'origine e raggio r_max, ove quest'ultimo è una radice semplice dell'equazione E=V_eff(r).
Nel caso della Luna, è manifestamente r_min > 0 giacché nell'approssimazione adottata, è α=1, per cui abbiamo una barriera di potenziale infinitamente alta: nessun valore dell'energia consentirebbe alla Luna di impattare la Terra.

Indice delle lezioni

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