Limiti di successioni. Successioni convergenti

Marzo 4th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Ricordiamo che una successione di elementi di R (o semplicemente successione) è una funzione da N a R:

spesso simboleggiata da:

qui l'intero naturale n è l'indice del termine considerato.Nel caso delle funzioni da R a R avevamo introdotto la seguente locuzione: la funzione f verifica definitivamente la proprietà P intorno a x0, essendo x0 un punto di accumulazione per l'insieme di definizione di f. È essenziale estendere tale locuzione alle successioni, tenendo conto che l'unico punto di accumulazione per N è all'infinito.
Definizione
La successione {y_n} verifica definitivamente la proprietà P, se esiste un indice ν tale che P è verificata da y_n per ogni n maggiore di ν.

Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:

Definizione
La successione {y_n} è convergente se esiste un numero reale l tale che lo scarto |y_n-l| è definitivamente minore di un qualunque numero reale positivo. Cioè

Si scrive

Recall that a succession of elements of R (or simply sequence ) is a function from N to R:

often symbolized by:

here the natural integer n is the index of the term considered. In the case of the functions from R to R we had introduced the following term: the function f definitively verifies the property P around x0 , x0 being an accumulation point for the defining set of f. It is essential to extend this term to sequences, bearing in mind that the only accumulation point for N is infinity.
Definition
The sequence {y_n} definitively verifies the property P, if there is an index ν such that P is verified by y n for every n greater than ν.

That said, the following definition exists:

Definition
The sequence {y _n} is convergent if there exists a real number l such that the offset | y _{n -l | it is definitely less than any positive real number. That is}

You write it

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