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Controesempio all'invertibilità del Teorema di Lagrange

Proponiamo un secondo controesempio che mostra la non invertibilità del Teorema di Lagrange in Meccanica analitica.

Più specificatamente, abbiamo una particella che si muove sull'asse x sede di un campo di forze posizionali (sufficientemente regolare, in tal modo il campo è necessariamente conservativo). L'energia potenziale è un'oscillazione sinusoidale (anzi, di sin(10/x)) inviluppata da un esponenziale periodico (e^-sin(x)^2) che per quanto visto in un esercizio precedente è di classe C^oo ma non è analitica. Ed è facile persuadersi che anche V(x) ha lo stesso comportamento. Inoltre per le infinite oscillazioni del grafico intorno a x=0, si ha che questo punto pur essendo uno zero di tutte le derivate, non è un punto di estremo relativo. Nonostante ciò, applicando la definizione di stabilità nel senso di Lyapunov, si scopre che il predetto punto è una posizione di equilibrio stabile per il sistema.

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Tags: invertibilità, posizione di equilibrio stabile, teorema di lagrange