Funzione zeta e prodotto di Eulero

Settembre 3rd, 2020 | by Damiano Mercurio |

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Fig. 1

In questo paper cercheremo di prolungare il prodotto di Eulero della funzione ζ(s) nel semipiano Re(s)>1/2 escluso il polo s=1

Partiamo dal fatto che


sono due serie doppie uniformemente e assolutamente convergenti su Re(s)>1

Posso definire:

dove  log⁡ζ(s) è il logaritmo del prodotto di Eulero ζ(rs) è la serie di Diriclet della funzione zeta di variabile rs

Introducendo la formula di sommazione per il primo termine della serie abbiamo


La serie a secondo membro converge uniformemente a una funzione olomorfa per ζ(s)≠0 se Re(s)>1/2 s≠1. Inoltre:

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