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Esercizio svolto sul metodo di variazione delle costanti arbitrarie (equazioni differenziali)

Maggio 25th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Assegnata l'equazione differenziale rappresentata in fig. 1, si determini un integrale particolare applicando il metodo di Lagrange

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Soluzione
Dobbiamo innanzitutto trovare un sistema fondamentale di integrali dell'equazione omogenea

la cui equazione caratteristica

ammette una coppia di radici reali e distinte: λ₁=0,λ₂=2. Ne seguono gli integrali fondamentali:

Un integrale particolare della non omogenea è

con v1(x),v2(x) tali che

Il determinante della matrice dei coefficienti di tale sistema lineare è ovviamente il wronskiano dei predetti integrali fondamentali

Applichiamo la regola di Cramer

mentre l'altra incognita si ricava facilmente:

Non ci resta che eseguire una quadratura

L'integrale a secondo membro si calcola facilmente per parti:

da cui

Quindi

Passiamo all'altra funzione

Procedimento simile al precedente:

Perciò

Finalmente l'integrale particolare della non omogenea:

Ne concludiamo che l'integrale generale dell'equazione assegnata è

In fig. 1 l'andamento di alcune curve integrali della predetta equazione.

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Tags: Equazioni differenziali, metodo di lagrange, metodo di variazione delle costanti arbitrarie

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