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[¯|¯] Differenziabilità di una funzione vettoriale di variabile vettoriale (parte 2)

Febbraio 10th, 2020 | by Marcello Colozzo |

A questo punto ci chiediamo: "cos'è Λ(u)?" Per quanto precede, tale funzione vettoriale lineare (della variabile u) è la derivata della funzione vettoriale f(x) secondo la direzione u, calcolata in x₀:

Si noti che Λ(u) dipende anche da x₀, che tuttavia si comporta alla stregua di un parametro, giacché noi fissiamo tale punto per poi calcolare la derivata secondo la predetta direzione. Se ques'ultima è definita da uno dei vettori di base, per quanto già stabilito:

Ora riscriviamo l'incremento di f

Riesce

Ne consegue

dove il penultimo passaggio segue dalla linearità di Λ. Tenendo presente che hu è l'incremento della variabile (vettoriale) indipendente:

Quindi

cioè Λ(hu) è il differenziale di f calcolato in x₀. Quindi la differenziabilità della funzione vettoriale si riesprime:

dove

A questo link un esercizio svolto.

Tags: differenziabilità, funzione vettoriale

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