» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il Teorema della divergenza in coordinate sferiche

Novembre 7th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio
Assegnato il campo vettoriale in coordinate sferiche

verificare il teorema della divergenza per il seguente dominio

per un'assegnata colatitudine θ₀, come illustrato in fig. 1

Soluzione

Rammentando l'espressione dell'elemento di volume in coordinate sferiche, si ha che il teorema della divergenza nel caso in esame si scrive:

Poniamo

Per determinare la divergenza del campo vettoriale assegnato, utilizziamo la nota formula

ottenendo

Segue

Cioè

Passiamo ora al secondo integrale. La frontiera di D può scriversi:

dove S₁ ha la ovvia rappresentazione parametrica

Il versore n₁ è ortogonale a S₁ ed è orientato verso l'esterno di D, onde

Una rappresentazione parametrica della superficie S₂ è

Il versore n₂ è ortogonale a S₂ ed è orientato verso l'esterno di D, onde è manifestamente

L'elemento di superficie su S₂ è

essendo

l'angolo solido elementare, per cui

Ciò implica

Ne concludiamo

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Tags: coordinate sferiche, teorema della divergenza

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