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[¯|¯] Potenziale scalare di un campo vettoriale

Agosto 2nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

Campi irrotazionali. Integrazione di forme differenziali lineari

Definizione
Un campo vettoriale u(x,y,z) si dice irrotazionale se

essendo A il dominio/campo di esistenza di u(x,y,z)
Per il teorema di Stokes

In altri termini, la circuitazione di un campo vettoriale irrotazionale lungo una qualunque curva generalmente regolare semplice e chiusa, è nulla:

D'altra parte

Ricordiamo che ciò esprime una condizione necessaria affinché la forma differenziale lineare

sia un differenziale esatto in A. Come è noto una condizione sufficiente è data dalla richiesta che il campo di esistenza A sia a connessione lineare semplice:
Definizione
Un campo (aperto di R³) A si dice semplicemente connesso o a connessione lineare semplice, se ogni curva generalmente regolare, semplice e chiusa, tracciata in A, è il bordo di una superficie generalmente regolare e aperta, contenuta in A.
Ad esempio, una corteccia sferica i.e. il campo compreso tra due sfere concentriche, è un campo a connessione lineare semplice, mentre il toro aperto non lo è: non esiste alcuna superficie aperta contenuta in A avente per bordo una qualunque curva tracciata nel toro e "avvolgente" l'asse di rotazione.
Quindi, se u(x,y,z) è un campo irrotazionale di classe C¹ su un campo semplicemente connesso in A, si ha che

è un differenziale esatto in A. Cioè

Definizione
La funzione U(x,y,z) di dice potenziale del campo vettoriale u(x,y,z).
Riesce manifestamente

Ciò suggerisce la seguente locuzione: il campo vettoriale u(x,y,z) deriva dal potenziale U(x,y,z).

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Tags: campo a connessione lineare semplice, campo irrotazionale, toro

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