[¯|¯] Una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una funzione

Febbraio 21st, 2019 | by Marcello Colozzo |

sommabilità,integrabilità,condizione necessaria e sufficiente

Per quanto stabilito nei numeri precedenti, una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato), si dice integrabile se è possibile determinare univocamente l'ente denominato integrale generalizzato

che sia in grado di inglobare la definizione di integrale definito. Si noti che

Nel caso particolare

diremo che f è sommabile in X. Ne consegue che la sommabilità di una funzione è una condizione più forte dell'integrabilità. Il seguente teorema esprime una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una funzione:
Teorema

Dim.

La condizione è sufficiente
Dopo aver introdotto le solite funzioni non negative

prendiamo ad arbitrio

Segue

Dalle formule scritte più sopra

Per ipotesi f(x) è sommabile in X, per cui tali saranno le f_k(x):

Segue

Cioè

Segue

essendo

Ma

onde l'asserto.

La sufficienza della condizione è lasciata per esercizio.

Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.