» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il problema dei quattro colori

Teorema dei quattro colori
Sono sufficienti quattro colori per colorare ogni mappa su un piano e su una sfera in modo che ogni coppia di regioni confinanti abbia due colori diversi.

Per confinanti si intendono quelle regioni aventi in comune un arco di curva appartenente alla propria frontiera. Cerchiamo di formalizzare il problema, assegnando ad arbitrio un dominio D limitato e misurabile di R². Eseguiamo, quindi, una decomposizione di D:

se

è un arco di curva. Viceversa, se γ_k,k' è al più infinito numerabile, i predetti domini si dicono

Se C_k denota il colore di D_k, la nostra richiesta è

Per il teorema precedente sono sufficienti i colori C_k per k=1,...4 per colorare la decomposizione di D qualunque sia l'intero naturale N.

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