[¯|¯] Integrali generalizzati. Parte prima: le funzioni generalmente continue

Febbraio 8th, 2019 | by Marcello Colozzo |

integrali generalizzati,funzioni generalmente continue — **Fig. 1**

Sia f una funzione reale definita in un intervallo X (limitato o illimitato) di R. Come è noto, se f è continuta in X e X è limitato, ha un preciso significato l'integrale definito di f esteso a X:

Ci proponiamo di estendere tale ente ad almeno uno dei seguenti casi (o entrambi):

f non è continua.
X è illimitato.

A tale scopo diamo la seguente definizione:
Definizione
La funzione f si dice generalmente continua in X, se ogni intervallo limitato contenuto in X, contiene al più un numero finito di punti di discontinuità.

Per ora consideriamo funzioni non negative, per poi estendere i risultati raggiunti alle funzioni di segno qualunque. Dalla definizione precedente segue che comunque prendiamo una funzione generalmente continua in X, è possibile costruire (in infiniti modi) un insieme finito di intervalli limitati contenuti in X, privi di punti di discontinuità e a due a due disgiunti. Ad esempio, si consideri la funzione:

Qui abbiamo i seguenti punti di discontinuità

I punti ξ₁ e ξ₄ sono di discontinuità di prima specie, mentre ξ₂ e ξ₃ sono di discontinuità di seconda specie (singolarità). La funzione è graficata in fig.1 , in cui è realizzata l'insieme degli intervalli privi di punti di discontinuità.

Nel caso di una funzione definita in un intervallo illimitato X, basta prendere ad arbitrio un intervallo limitato X' contenuto in X, per poi ripetere il procedimento appena visto. Quindi, in ogni caso abbiamo un insieme finito di intervalli:

tali che f è continua nella loro unione che denotiamo con T:

per cui ha senso l'integrale

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