» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Correggendo alcune imperfezioni del Flaccavento (integrali curvilinei)

Dicembre 16th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Nell'esercizio 3 di pag. 74 del Flaccavento ci sono un paio di triviali errori di calcolo. Innanzitutto, il testo originale non è molto chiaro, come possiamo vedere dalla fig.

Infatti, il cammino di integrazione non è una spezzata, bensì una curva generalmente regolare semplice e chiusa:

Quindi l'integrale va scritto come

con il seguente cammino di integrazione

I singoli archi/segmenti sono:

Si noti che l'esercizio proposto è l'integrale curvilineo non di una funzione, ma di una forma differenziale lineare (nello specifico, il coefficiente in dy è identicamente nullo). Ne consegue che non si pone il problema del segno dell'elemento d'arco ds dato che ora abbiamo semplicemente dx o ciò che è lo stesso, dt (se si pone x=t in una opportuna rappresentazione parametrica del cammino di integrazione).
Ciò premesso calcoliamo i singoli integrali della sommatoria:

Cioè

Passiamo al secondo integrale, riscrivendo l'equazione del cammino di integrazione:

per cui

Passiamo al terzo integrale

che ci consente di procedere per decomposizione in frazioni parziali:

da cui

Quindi il sistema di equazioni lineari

che ammette l'unica soluzione

Ciò implica

Cioè

Finalmente

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Tags: cammino di integrazione, esercizi, flaccavento, Integrali curvilinei

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