» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Momento di una forza rispetto ad un asse (o momento assiale)

Consideriamo una forza F applicata in un punto P, ed una retta orientata a (asse) non passante per P, come illustrato in fig. 1. Per quanto visto nella lezione precedente, il momento di F rispetto ad O è:

Cioè

dove vers(a) denota il versore dell'asse a.

Dimostrazione
L'invarianza di M_a rispetto a P, discende dall'invarianza di M rispetto al predetto punto, come stabilito nella lezione precedente, per cui la seconda parte del teorema è ovvia. Per dimostrare la prima parte decomponiamo la forza F in una componente parallela all'asse a, e in una componente ortogonale:

come illustrato in fig. 1. Segue

onde

D'altra parte

Quindi

cioè la componente di M_n secondo l'asse a. In altri termini, il momento di F rispetto ad a, è la componente secondo a del momento di F_n rispetto ad a. Si noti, inoltre, che M_n è parallelo all'asse a.
Se O' è un qualunque punto di a distinto da O, si ha:

Il vettore

è ortogonale all'asse a, per cui

Se u è il vettore O-O':

per cui

Il vettore

è ortogonale ad u, quindi all'asse a:

Dalla precedente equazione vettoriale, si ha:

onde l'asserto.

c.d.d.

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Tags: momento assiale, momento di una forza rispetto ad un asse, retta orientata