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[¯|¯] Equazioni differenziali autonome. Sistemi dinamici autonomi

Giugno 9th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Consideriamo una funzione reale di una variabile reale x:

supponendo che sia di classe C¹ su X, i.e. continua in X ed ivi dotata di derivata continua. La variabile x è a sua volta funzione di una variabile reale t che chiamiamo tempo,

In particolare, se

è univocamente determinata la funzione composta

per cui

Consideriamo ora quella particolare funzione f tale che

cioè i valori assunti dalla funzione composta f[x(t)] definiscono la derivata prima di x(t). Scrivendo in notazione puntata:

Abbiamo così ottenuto un'equazione differenziale autonoma. L'equazione si dice autonoma perché f non dipende esplicitamente dalla variabile tempo t. Al contrario, un'equazione differenziale del tipo

si dice non autonoma. Un'equazione autonoma definisce un cosiddetto sistema dinamico autonomo. Dalla teoria delle equazioni differenziali segue che una qualunque equazione autonoma rientra nella classe delle equazioni integrabili per separazione di variabili. Infatti, passando dalla notazione puntata alla notazione di Leibnitz per ciò che riguarda la derivata:

Separando le variabili

e integrando membro a membro rispetto a x e t rispettivamente, si ha

essendo G(x) una primitiva di 1/f(x), mentre C è una costante di integrazione. Come è noto, la relazione appena trovata definisce implicitamente l'integrale generale dell'equazione differenziale data.

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Tags: equazioni differenziali a variabili separabili, sistemi dinamici autonomi

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