[¯|¯] La genesi delle equazioni differenziali. Un esempio preso dalla fisica

Agosto 29th, 2017 | by Marcello Colozzo |

equazioni differenziali,velocità limite, paracadute — more

Supponiamo di avere una grandezza fisica y dipendente dal tempo t attraverso una legge ignota y=f(t), nel senso che non conosciamo l'espressione analitica della funzione f:X->R, dove dove X è un sottoinsieme di R. Ciò che invece conosciamo, è un legame funzionale tra la variabile indipendente t, la grandezza y e le prime n derivate di y rispetto a t, dove n è un intero naturale assegnato. Cioè:

essendo

Abbiamo allora un'equazione differenziale ordinaria di ordine n. Il termine ordinario si riferisce al fatto che la funzione incognita y è una funzione di una sola variabile. In presenza di più variabili, si parla di equazione differenziale alle derivate parziali.

Per n=0

cosicché i casi significativi si hanno per n>0.
Esempio
Una pallina di massa m (schematizzata attraverso un punto materiale) è in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre, supposto uniforme. Assumiamo come sistema di riferimento inerziale, un riferimento cartesiano su un asse y verticale e orientato verso il basso. Schematizziamo, poi, la resistenza dinamica del mezzo (atmosfera) attraverso una forza F=-bv, dove b>0, mentre v è la velocità del punto. Per la seconda legge di Newton:

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