[¯|¯] Limite di una funzione periodica per x tendente all’infinito

[¯|¯] Limite di una funzione periodica per x tendente all'infinito

Agosto 2nd, 2014 | by extrabyte |

Supponiamo di avere una funzione reale di una variabile reale definita in tutto R. Per ipotesi questa funzione è periodica, cioè f(x+k*T)=f(x) per ogni x in R e per ogni k intero relativo, mentre T è un numero reale maggiore di zero (denominato periodo).
Domandiamoci: esiste il limite per |x|->+oo?

La risposta è no. Intuitivamente, una funzione periodica per |x|->+oo assume tutti i valori del suo codominio, per cui non può essere nè convergente, nè divergente. Infatti, nel primo caso la differenza |f(x)-l| può essere resa arbitrariamente piccola, dove l è il valore del limite. Ma ciò è impossibile, proprio perchè la funzione assume ogni valore del suo codominio. Ad esempio, la funzione sin(x) per |x|->+oo assume tutti i valori appartenenti a [-1,1]. La funzione tan(x), invece, assume tutti i valori appartenenti a (-oo,+oo). Non a caso, molti software di calcolo simbolico come ad esempio Mathematica, restituiscono un output del tipo Interval[{-1,1}], come possiamo vedere dallo screenshot seguente:

Non è possibile nemmeno la divergenza, per le ragioni viste sopra. Ad esempio se fosse f(x)->+oo, dovrebbe essere f(x) maggiore, definitivamente, di un qualunque numero reale positivo (arbitrariamente grande). Ma ciò non è possibile, proprio perchè la funzione assume valori minori di quel numero assegnato.

Di seguito la dimostrazione dettagliata: