[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Göhl (parte quinta)

Nel post precedente abbiamo stabilito il seguente risultato per quanto riguarda il contributo alla funzione di distribuzione dei numeri primi π₀ in grado di riprodurre l'andamento a gradini. Precisamente:

ove

Dimostriamo ora che il secondo membro di tale espressione è una grandezza reale. A tale scopo poniamo:

essendo

Dalla definizione dell'esponenziale integrale:

Segue

Quindi

Per studiare il comportamento dei singoli termini T_n(x), consideriamo l'espansione esatta:

Ricordiamo che T_n(x) è il generico termine di una serie di funzioni uniformemente convergente:

cioè la funzione vista all'inizio, ma senza il pedice N, giacché ora è N->+oo. La funzione H(x) riproduce le discontinuità della funzione di distribuzione

Rammentiamo che

esprimibile come somma della serie di Gram:

La funzione G(x) è un ulteriore contributo alla "parte continua" di π₀(x):

Per un assegnato n

Cioè a sua volta, il generico termine T_n(x) è la somma di una serie di funzioni, il cui termine generico è

mentre i coefficienti di Möbius:

Scriviamo lo zero n-esimo della zeta di Riemann come:

dove

Segue

Studiamo tali funzioni per δ_n=0 (cioè diamo per vera la congettura di Riemann Dal momento che gli zeri della zeta di Riemann sono built-in in Mathematica, riscriviamo:

che dovrà comunque essere troncata a un dato N₀ ed avevamo posto N₀=154. Segue che il calcolo di un singolo termine T_n(x) richiede la computazione via software di 154 funzioni di questo tipo. Dall'articolo di Rieseel e Göhl si ha:

da cui l'espressione approssimata

Esplicitando ρ_n:

Se al denominatore del secondo membro dell'espressione scritta più sopra esprimiamo il numero complesso ρ_n in forma polare:

si ha

Prendendo la parte reale del secondo membro, otteniamo:

a cui corrisponde la seguente relazione approssimata per il termine n-esimo:

da cui vediamo che il contributo dominante ai termini T_n(x) proviene dai primi zeri ρ_n:

Dalla espressione approssimata vediamo che le funzioni ψ_k,n(x) hanno un comportamento oscillante a causa della presenza della funzione coseno. Riprendendo l'espressione esatta delle predette funzioni vediamo la presenza di una singolarità in x=1:

Di seguito alcuni grafici di tali funzioni:

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