Fig. 1
L'esercizio precedente si presta ad una ulteriore generalizzazione, introducendo le nozioni di ricorsione e di convergenza ricorsiva. In realtà abbiamo già affrontato tale problema in .
Modifichiamo, aggiungendo ricorsività, il predetto esempio nel modo che segue
dove φ(x) è una funzione assegnata, infinitesima in x=0 e derivabile in un intorno di tale punto un numero "sufficiente" di volte in modo da poter applicare la regola di De L'Hospital in modo da risolvere la forma indeterminata 0/0. Esplicitando alcuni valori di n:
Definizione
La funzione
è, per x->0, ricorsivamente convergente se
Ciò equivale a dire che per x->0
è un infinitesimo di ordine 3, per ogni intero naturale non nullo n.
Nel caso della funzione φ(x)=tan(x), proponiamo la dimostrazione di Davide Lombardi.
Tale tipo di convergenza può essere studiata attraverso l'ausilio di un software del tipo Mathematica. Ad esempio, possiamo porre
cosicché il limite si scrive
dopodiché si cerca di applicare la regola di De L'Hospital. Tuttavia, per come abbiamo definito la convergenza ricorsiva, il limite deve essere calcolato per ogni n, cosa ovviamente impossibile. Al più, si potrebbe ricorrere a un procedimento di tipo induttivo vincolato, ovviamente, alla funzione φ(x). Ad esempio, per φ(x)=tanx, Mathematica restituisce i seguenti risultati:
Sembra quindi che la funzione sia ricorsivamente convergente. Ciò potrebbe rappresentare un risultato generale. Cioè
Congettura
A questo punto ci sembra più interessante studiare la ricorsività locale per ciò che riguarda la convergenza della funzione
per ricorsività locale intendiamo la circostanza secondo cui per x->0 il numero di ricorsioni diviene infinitamente grande. Cioè
Formalmente f(x) diviene una funzione di due variabili:
definita nel seguente sottoinsieme di R²:
passando poi alla funzione composta della sola variabile x:
onde si tratta di studiare il limite
Dal momento che n è un intero naturale, siamo tentati di porre
dove [.] denota la parte intera. Per φ(x)=tan x otteniamo - con l'ausilio di Mathematica - il grafico di fig. 1, dove per necessità computazionali abbiamo considerato il comportamento in un intorno destro di x=0. Da tale andamento sembra che la funzione sia ricorsivamente (in senso locale) divergente per x->0.
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