[¯|¯] Ascissa curvilinea su un arco di parabola

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Esercizio
Sia dato l'arco di curva regolare:

i.e. l'arco di parabola di estremi (0,0) e A(1,1). Determinare l'ascissa curvilinea s(t) dopo aver introdotto un riferimento curvilineo con origine in (0,0).

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Soluzione
Le derivate delle funzioni x(t), y(t) sono

per cui la funzione H(t) (che Mathematica chiama ArcLengthFactor) è:

Perciò

Ponendo ξ=2τ

Calcoliamo dapprima l'integrale indefinito

Eseguiamo la sostituzione iperbolica

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