[¯|¯] Un importante lemma per definire la base duale di uno spazio vettoriale

Nella lezione precedente abbiamo visto che in una base {e_k} di uno spazio vettorialeV su un campo K, un generico elemento dello spazio duale ^*V è rappresentato da una matrice 1×n, essendo n=dimV. Precisamente:

Rappresentiamo un generico vettore di V attraverso una matrice n×1 (vettore colonna):

Quindi

cioè

Ciò premesso, dimostriamo il seguente lemma:
Lemma
Sia V uno spazio vettoriale n-dimensionale su un campo K, e {e_k} una sua base.

Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che se

l'asserto è banalmente verificato dal funzionale nullo (i.e. vettore nullo dello spazio duale ^*V, per cui assumiamo:

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