Convergenza totale di una serie di funzioni

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Sia data la serie di funzioni Σ_nf_n(x) in X (sottoinsieme di R).
Definizione

1. ogni funzione f_n(x) è limitata in X;
2. Σ_nΛ_n converge, essendo Λ_n l'estremo superiore di |f_n(x)| in X. Cioè
   

diremo che la serie assegnata è totalmente convergente in X.

Ad esempio consideriamo in (-oo,+oo)

per cui

avendosi

Ne segue la totale convergenza della serie

Nel grafico di fig. 1 riportiamo l'andamento della somma (calcolata con Mathematica.

Dimostriamo ora un importante teorema secondo cui la convergenza totale è una condizione più forte della convergenza uniforme.

Teorema

Dim

Per ipotesi

da cui l'assoluta convergenza della serie di funzioni, in virtù del nΛ_n. Per il criterio generale di convergenza

Ne segue

onde l'uniforme convergenza della serie di funzioni, in virtù del criterio generale di convergenza uniforme.
c.d.d.

Per quanto precede, il teorema non è invertibile. Infatti consideriamo questa serie

Abbiamo

La serie non è totalmente convergente perché

ma è uniformemente convergente. Per mostrare ciò poniamo

che è una serie alternata e sono verificate le ipotesi del Teorema III di convergenza non assoluta, per cui detta serie convergenge. Inoltre, per il predetto teorema, si ha che denotando con f(x) la somma della serie, si ha:

Ne segue

Perciò il resto di ordine N può essere maggiorato come:

Allora

Perciò la serie converge uniformemente giacché l'indice ν_ε non dipende da x. Vedremo in seguito che la somma di questa serie è ln(x+1).