Riprendiamo l'analisi di Riesel e Gohl iniziata nel post precedente, correggendo alcune imperfezioni.
Il problema consiste nell'approssimare la funzione integrale
Più precisamente, il termine che può essere approssimato è
Cioè
Per N=N0, dove
si ha
Dopo aver studiato l'andamento della funzione integranda g(t), scriviamo
Risulta x1/k>1, per ogni x>0.
Riesce
giacchè g(t)>0 è per t->+oo un infinitesimo di ordine >1. Tuttavia ci si avvicina al valore 1 dell'estremo inferiore di integrazione nel limite dei grandi k:
Discutendo il comportamento dell'integrale, si ha:
L'analisi matematica ci dice, quindi, che il contributo dominante all'integrale I(x1/k) proviene dai "grandi" valori di k, poiché in corrispondenza di questi l'estremo inferiore di integrazione è circa 1. Viceversa, nel limite dei piccoli k è x1/k»1 e l'integrale è trascurabilmente piccolo, in quanto la funzione integranda si annulla rapidamente.
L'integrale I(x) non è elementarmente esprimibile, per cui ci affidiamo a Mathematica per eseguire un'integrazione numerica. Precisamente, dopo aver generato una lista di valori:
si esegue un'interpolazione, ottenendo una funzione approssimata:
Quindi definiamo la funzione
il cui andamento (per N0=154) è riportato in fig. 1
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