Nella definizione di varietà topologica abbiamo visto che un assegnato spazio topologico può essere "localmente" in corrispondenza biunivoca con lo spazio euclideo Rn. Si apre quindi il problema della determinazione dell'intero naturale n che fissa la dimensionalità dello spazio considerato. Dal momento che la nostra definizione ha carattere locale, ci si aspetta che il predetto n vari in funzione del punto. Viceversa, se è indipendente dal punto, si dirà che è un invariante topologico per cui la corrispondente varietà topologica ha dimensione n.
L'invarianza topologica di n deriva da una importante proprietà di uno spazio topologico: la connessione. Dobbiamo perciò introdurre tale nozione. A tale scopo consideriamo un generico spazio topologico (S,Θ).
Definizione
Intuitivamente, uno spazio topologico connesso è costituito da una sola "porzione" di spazio.
Esempio
Strutturando R² come spazio topologico (con topologia euclidea Θe, consideriamo il sottoinsieme
come illustrato in figura:
Il sottospazio topologico S è sconnesso poiché è possibile trovare una coppia di aperti non vuoti A,B che
Il teorema seguente fornisce una notevole caratterizzazione degli spazi connessi
Teorema
In altri termini, in uno spazio connesso S gli unici sottoinsiemi simultaneamente aperti e chiusi sono Ø e S.
Dimostrazione
Un altro teorema notevole:
Teorema
Cioè S è connesso se e solo se la frontiera di ogni sottoinsieme non vuoto di S, non è l'insieme vuoto.
Dimostrazione
Definizione
Dicesi ricoprimento aperto di X ogni ricoprimento di X costituito da aperti non vuoti.
Osservazione
La definizione precedente continua a valere se X=S. Incidentalmente, abbiamo ipotizzato X contenuto in S.
Esempio
Sia (S,Θd}) uno spazio topologico, essendo S={x,y} con x=y e Θd=P(S)={Ø,S,{x},{y}} la
topologia discreta. Risulta
Quindi S è sconnesso.
Tale risultato si applica all'esempio suggestivo delle palline, per cui lo spazio topologico
è sconnesso.
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