Premessa. Omeomorfismi
Nella lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di spazio di Hausdorff e di varietà topologica. È essenziale costruire degli esempi, altrimenti si rischia di enunciare proprietà e teoremi che sembrano "campati in aria". Premettiamo la seguente definizione:
Definizione
Comunque prendiamo un insieme S, la topologia
si dice topologia discreta
Ad esempio, se S è l'insieme
si ha
In questo esempio vediamo che gli aperti dello spazio topologico
si esprimono come unione di
Infatti
Ciò suggerisce di definire l'insieme
che chiamiamo base degli aperti per lo spazio topologico assegnato. Vediamo ora di determinare gli intorni di un punto
Per definizione Ux è un intorno di x, se x è interno a Ux. Nel nostro caso se ad esempio
dobbiamo trovare un aperto (quindi un elemento di Θd) contenuto in Ux e contenente X. Abbiamo quindi la lista:
che è l'insieme di tutti e soli gli intorni del predetto punto x. Scriviamo
Lo stesso procedimento va applicato agli altri punti dell'insieme che stiamo studiando. Ad esempio, se x'=π
Dal momento che ogni elemento della singola lista è un intorno del punto assegnato, possiamo assumere
Cioè assumiamo come intorno di x l'insieme costituito dal punto medesimo. Segue
Alla stessa conclusione per i rimanenti punti
Ne consegue che lo spazio topologico
è uno spazio di Hausdorff. Si noti che tale conclusione si generalizza a un qualunque spazio topologico con topologia discreta. Cioè (S,P(S)) è uno spazio di Hausdorff, comunque prendiamo l'insieme S. Nel caso dell'insieme vuoto:
Cioè l'insieme vuoto assume la struttura di spazio topologico con topologia discreta. Tale spazio è privo di elementi (e l'unico aperto è l'insieme il cui unico elemento è il vuoto) per cui non possiamo chiederci se sia uno spazio di Hausdorff.
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