Fig. 1.
Da un punto di vista cinematico una curva regolare è una traiettoria dello spazio fisico R³ percorsa in tutti i modi possibili (i.e. con tutte le velocità possibili). Infatti, comunque prendiamo due rappresentazioni equivalenti x(t) e x*(t) di una curva regolare Γ, si ha:
definiscono le velocità vettoriali di due punti materiali P1 e P2 che descrivono la stessa traiettoria Γ con leggi orarie diverse. Il punto P1:
mentre le coordinate cartesiane x,y,z del punto P2 seguono le leggi orarie:
Ad esempio, consideriamo in R² la rappresentazione parametrica:
Riesce:
Cioè la rappresentazione parametrica assegnata rappresenta il segmento di estremi O(0,0) e A(1,1) del piano cartesiano. Tale rappresentazione parametrica definisce le equazioni orarie:
di un punto materiale P1 che si muove sul segmento OA. La sua velocità è:
Cioè il moto è rettilineo ed uniforme, giacché la velocità è un vettore costante di modulo (in unità adimensionali):
Ora consideriamo le infinite rappresentazioni parametriche
ottenute tramite le riparametrizzazioni
La generica gn(τ) definisce una sostituzione di parametro ammissibile nell'intervallo semiaperto a sinistra (0,1] e non nell'intervallo [0,1] in quanto risulta
È facile persuadersi che ciascuna rappresentazione xn(τ) è equivalente in (0,1] alla x(t). Inoltre, per un assegnato intero naturale n>1, la b>xn(τ) definisce il moto di un punto materiale Pn che si muove sul segmento OA con equazioni orarie:
Quindi con velocità
che non è più costante. Abbiamo, cioè, una famiglia di moti rettilinei ma non uniformi:
visualizzabili attraverso l'animazione grafica di fig. 1 (top di questa pagina).
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