[¯|¯] Spazio vettoriale dei polinomi

Leggi di composizione nell'insieme dei polinomi

Denotiamo con P_n[x] l'insieme dei polinomi su un campo K di grado minore o uguale di n (intero naturale). Introduciamo in P_n[x] le ordinarie operazioni di addizione di polinomi e di moltiplicazione di uno scalare (elemento di K) per un polinomio. Più precisamente, assegnati i polinomi:

Definiamo "somma di a(x) e b(x)" il polinomio:

L'elemento neutro rispetto all'addizione è il polinomio nullo, i.e. il polinomio avente tutti i coefficienti nulli:

L'elemento opposto di a(x) è

L'operazione di moltiplicazione di uno scalare per un elemento di P_n[x] è così definita:

È facile persuadersi che l'insieme P_n[x] assieme alle operazioni sopra definite (+,·), verifica tutti
gli assiomi di spazio vettoriale. Ne concludiamo che (P_n[x],+,-) è uno spazio vettoriale su K.

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