Supponiamo di ruotare un vettore ξ=(x,y,z) di R³ attorno all'asse x di un angolo θ1. Il vettore risultante viene poi ruotato attorno all'asse z di un angolo &theta1. La prima rotazione è realizzata da
mentre la seconda rotazione
avendo applicato la definizione di prodotto di endomorfismi. Se invertiamo l'ordine delle rotazioni, si avrà:
Chiediamoci: il risultato della composizione delle predette rotazioni è indipendente dall'ordine in cui esse sono eseguite? Per rispondere a questa domanda osserviamo innanzitutto che tale ordine è indipendente se e solo se:
Cioè se e solo se
Per formalizzare il risultato precedente è conveniente la seguente definizione valida per un qualunque spazio vettoriale E:
Comunque prendiamo due endomorfismi A e B di uno spazio vettoriale E, si dice commutatore di A e B, l'endomorfismo:
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