Orbite circolari perturbate

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Riprendiamo la prima forma dell'equazione delle orbite

Supponiamo di avere un potenziale efficace V_eff(r) tale da che la regione classicamente accessibile sia:

e come tale contenuta nella corona circolare di centro l'origine e raggi r_min,r_max. Abbiamo poi visto che l'angolo polare tra il pericentro e l'apocentro, è

Eseguiamo ora il cambio di variabile

onde

Vediamo come cambiano gli estremi di integrazione

È spontanea la seguente posizione:

onde

Segue

Cioè

Si noti che non abbiamo fatto nulla di strano se non eseguire il cambio di variabile. Tuttavia il risultato trovato esibisce una rimarchevole analogia formale con un'equazione stabilita nei moti unidimensionali che qui riscriviamo:

essendo T il periodo del moto unidimensionale di una particella di massa unitaria confinata in [ξ_min,ξ_max}], regione determinata univocamente dall'energia potenziale

Ne segue che l'energia E altro non è che l'energia meccanica di tale particella

dove l'apice denota la derivazione rispetto all'angolo polare, per cui la variabile «tempo» è rimpiazzata dall'angolo polare (per tale ragione la predetta analogia è solo formale). Ne segue che l'angolo polare tra pericentro e apocentro è il semiperiodo del moto del sistema meccanico unidimensionale di energia E data dalla formula scritta più sopra.
Scriviamo l'equazione delle orbite in termini della nuova variabile. Abbiamo

Cioè

Sia r_c un punto di minimo relativo proprio per il potenziale efficace. Per il teorema di Lagrange, la corrispondente orbita circolare è stabile. Segue che

è un punto di minimo relativo proprio per la funzione W(ξ). Quindi

Consideriamo un'orbita infinitamente vicina a r_c (quindi a ξ_c). L'energia è

In un intorno di ξ_c

dove

Sviluppiamo la funzione W(ξ) in serie di Taylor intorno a ξ_c, troncando la serie al secondo ordine:

Sostituendo tale sviluppo nell'eq. scritta più sopra, otteniamo un'approssimazione al primo ordine in ε, giacché la funzione approssimata compare sotto radice quadrata. Abbiamo

Prendiamo

Perciò

ovvero

Ma questa altro non è che l'energia meccanica di un oscillatore armonico unidimensionale di massa unitaria e pulsazione

e quindi di periodo

Ne segue che l'angolo polare tra pericentro e apocentro è

dove nell'ultimo passaggio abbiamo ripristinato il valore della derivata seconda di W(ξ), mentre il pedice c a primo membro ci ricorda che stiamo perturbando un'orbita circolare.