Riprendiamo il moto di un oscillatore armonico tridimensionale isotropo in relazione al problema delle orbite in un campo centrale.
Per discutere il moto dell'oscillatore per valori dell'energia maggiori di ω|Lz|, occorre innanzitutto osservare che nell'equazione
deve essere
come c'era d'aspettarsi, tenendo conto che il moto tridimensionale della particella equivale a un moto unidimensionale sotto l'azione del potenziale efficace, per cui è definita una regione classicamente accessibile:
La discussione del moto necessita del grafico del potenziale efficace che è in fig.
Per un valore dell'energia E > Veff(rc)=ω|Lz|, la regione classicamente accessibile è l'intervallo chiuso e limitato
dove gli estremi sono le radici dell'equazione E=Veff(r), cioè
da cui
Per determinare l'equazione della traiettoria, dobbiamo calcolare l'integrale:
Se poniamo
il corrispondente integrale indefinito è stato risolto in questa pagina , per cui
Qui dobbiamo utilizzare la nota identità
che può essere snellita scegliendo il riferimento polare tale che
Ne segue
che può essere messa in forma cartesiana:
ovvero l'equazione di un ellisse di centro l'origine e semiassi rmin,rmax.
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