Assegnato un sottoinsieme E di R², consideriamo una funzione da E a C (campo complesso):
Come è noto, la coppia ordinata di variabili reali (x,y) individua il numero complesso z=x+iy, o ciò che è lo stesso, un punto del piano di Gauss come illustrato in figura:
La funzione f è una funzione complessa della variabile complessa z. Ciò premesso, consideriamo un campo A (limitato o illimitato) contenuto in E. Assegnato z0 in A, in corrispondenza di un incremento Δz tale che (z0+Δz) appartiene ad A, l'incremento della funzione f è Δf=f(z0+Δz)-f(z0).
Definizione
Si dice rapporto incrementale complesso di incremento Δz, relativo alla funzione f e al punto z0, il rapporto
Il rapporto incrementale è una funzione complessa della variabile complessa Δz=Δx+iΔy, il cui insieme ha per punto di accumulazione il punto Δz=0, i.e. (Δx,Δy)=(0,0), per cui ci poniamo il problema dell'esistenza del limite:
avendo denotato con x0 e y0 rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z0. Se tale limite esiste ed è finito, diremo che f è derivabile in modo complesso nel punto z0, scrivendo:
che è la derivata complessa di f in z0. Se f risulta derivabile in ogni punto z di A, diremo che f è derivabile in modo complesso A. Resta quindi definita una nuova funzione, ovvero la derivata complessa f'(z) che può, a sua volta ammettere una derivata complessa, cioè la derivata complessa seconda della funzione f(z) e così via per le derivate di ordine superiore.
Dimostriamo il seguente teorema:
Teorema
Dimostrazione
Implicazione diretta
Per ipotesi
Quindi
dove ω(Δz) è un infinitesimo per |Δz|->0:
Ciò implica
avendosi
Da ciò segue la differenziabilità secondo Stolz di f nel punto z in A. Dalla nozione di differenziabilità secondo Stolz, sappiamo che nel limite a primo membro dell'ultima equazione, i coefficienti degli incrementi Δx,Δy sono i valori assunti dalle derivate parziali fx,fy nel punto (x,y), cioè
cosicchè:
da cui l'asserto.
Implicazione inversa.
Per ipotesi la funzione è differenziabile in z, per cui
è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a |Δz|:
Il rapporto incrementale si scrive:
Per ipotesi è
onde
Per Δz->0:
onde l'asserto.
c.d.d.
Definizione
Una funzione complessa f è olomorfa in un campo A, se f è derivabile in modo complesso in A.
Con tale definizione, il teorema precedente può essere enunciato come
Teorema
Definizione
L'equazione
è l'equazione di Cauchy-Riemann o equazione di monogeneità.
Cerchiamo ora di sintetizzare le nozioni introdotte. Con la definizione di derivata complessa non abbiamo fattoaltro che estendere il concetto di derivata di una funzione reale di una variabile reale, al caso di una funzione complessa di una variabile complessa. Si noti che tale estensione non è per nulla simile alla definizione di derivazione parziale di una f(x,y) che eventualmente assume valori complessi, poichè nel caso della derivazione complessa le variabili (x,y) vengono "inglobate" nell'unica variabile complessa z=x+iy. In parole povere, la derivazione complessa "somiglia" più all'operazione di derivazione di una funzione di una sola variabile. Anche l'interpretazione geometrica ammette una ragionevole estensione al caso di una funzione complessa f(z), per cui si attribuisce una liscezza complessa a una funzione olomorfa. Non a caso, quest'ultima è differenziabile secondo Stolz, per cui il grafico è dotato - punto per punto - di piano tangente.
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