[¯|¯][Numeri primi] L'analisi di Riesel e Gohl (parte prima)

Nel 1970 i matematici svedesi Hans Riesel e Gunnar Gohl pubblicarono sulla rivista Matematics of Computation,un articolo sugli effetti della funzione

sull'andamento della distribuzione

che nel predetto articolo viene troncata a un termine N-esimo:

Riesel e Gohl assumono N=154 per due ragioni:

1. per tale valore di N, l'errore sulla determinazione di π₀(x) è <10^-4.
2. Risulta:
   

come vediamo dal grafico:

La condizione 2 consente di approssimare la funzione integrale

Più precisamente, il termine che può essere approssimato è

Cioè

essendo

Per N=154









Per eseguire la predetta approssimazione, consideriamo innanzitutto la funzione integranda in I_k(x):

che è definita nell'unione dei due intervalli aperti (0,1) e (1,+oo). Inoltre:

L'altro limite:

onde

Calcoliamo:

per cui

A noi interessa t>1 poiché è x^1/k>1, per ogni x>0. Riesce

giacchè g(t)>0 è per t->+oo un infinitesimo di ordine >1. Tuttavia ci si avvicina al valore 1 dell'estremo inferiore di integrazione nel limite dei grandi k:

Per studiare il comportamento di tale integrale dobbiamo determinare l'ordine di infinito (se esiste) della funzione integranda g(t) per t->1⁺. Assumendo come infinito di riferimento 1/(t-1), si ha:

L'altro limite si calcola facilmente con la regola di De L'Hospital:

In altri termini, la funzione integranda è un infinito di ordine 2 per t->1⁺, per cui l'integrale diverge. Dal segno della funzione segue:

L'analisi matematica ci dice, quindi, che il contributo dominante all'integrale I_k(x) proviene dai "grandi" valori di k, poiché in corrispondenza di questi l'estremo inferiore di integrazione è circa 1. Viceversa, nel limite dei piccoli k è x^1/k»1 e l'integrale è trascurabilmente piccolo, in quanto la funzione integranda si annulla rapidamente (come mostrato nel grafico di fig. 1 (al top di questa pagina).