[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla

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Nella lezione precedente abbiamo definito una procedura ricorsiva che restituisce l'insieme:

Ricordiamo che gli intervalli I_j^(k) sono ricorsivamente assegnati dalle formule

Abbiamo quindi la seguente definizione
Definizione
L'insieme

si chiama insieme di Cantor.
È immediata la proposizione:
Proposizione
L'insieme di Cantor è chiuso
Dimostrazione
Dall'espressione di C_k vediamo che C_k è chiuso, in quanto unione di insiemi chiusi. L'asserto segue dagli assiomi di spazio topologico, in quanto C è l'intersezione di una famiglia (infinita) di chiusi.
c.d.d.









Poniamo per definizione

Per quanto visto l'ampiezza di ciascun intervallo è indipendente da j:

La formula di ricorrenza si riscrive:

da cui si ricava facilmente:

Proposizione

Dimostrazione

dove

mentre

Quindi:

Segue

onde l'asserto.
c.d.d.
Teorema
L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla
Dimostrazione
Riprendiamo l'espressione

Gli intervalli I_j^(k) sono a due a due disgiunti, per cui

Cioè

e

Per k->+oo

Segue

onde l'asserto.
c.d.d.

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