[¯|¯] Retta tangente a una curva piana in forma implicita

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Sia Γ una curva piana la cui equazione in forma implicita è

dove F è un elmento di C¹(A) con A insieme aperto di R². Per quanto visto se

in un intorno di tale punto la curva Γ è un arco regolare. Per fissare le idee supponiamo:

per cui

e la rappresentazione parametrica

è regolare. Ne consegue che la curva Γ si compone di archi regolari. La regolarità può venir meno negli eventuali punti in cui si annulla il gradiente di F(x,y), cioè le soluzioni dell'equazione

che si dicono punti singolari di Γ. Diversamente, i punti per i quali il gradiente è non nullo, sono punti non singolari di Γ.

Pertanto, dal punto di vista delle funzioni implicite, una curva si dice regolare se tutti i suoi punti sono regolari. La regolarità di una curva è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'esistenza della retta tangente. La sola sufficienza è una conseguenza del teorema del Dini che, per quanto visto, esprime una condizione sufficiente per esplicitare localmente una delle variabili in funzione dell'altra. Ciò può essere dedotto formalmente dall'equazione che esprime la derivata di y(x):

Tale forma indeterminata ci dice che il rapporto può essere convergente, divergente o non regolare (nel senso che non tende ad alcun limite). Se invece

possiamo immediatamente scrivere l'equazione della retta tangente:

Cioè

Segue

In forma vettoriale

che è l'equazione richiesta, da cui vediamo che il vettore gradiente di F è ortogonale alla retta tangente a Γ in x₀, e quindi alla curva medesima, come mostrato in fig. 1.

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