Fig. 1.
Definizione
Una rappresentazione parametrica
si dice regolare se:
La condizione 1 richiede la continuità della funzione vettoriale x(t) e della sua derivata prima. La condizione 2, invece, implica l'assenza di zeri al finito della derivata prima. Risulta manifestamente:
In altri termini, la condizione 2 ci dice che le derivate delle funzioni x(t),y(t),z(t) non si annullano mai per lo stesso valore del parametro t.
Ad esempio, consideriamo in R² la rappresentazione parametrica:
il cui codominio è la semicirconferenza Γ di centro l'origine e raggio unitario. Manifestamente x(t) è un elemento di Coo}(X), per cui la condizione 1 è abbondantemente verificata. Anche la condizione 2 è soddisfatta. Infatti, la derivata prima della funzione vettoriale x(t) è:
onde
Ne consegue la regolarità della rappresentazione parametrica assegnata. Anticipiamo per ora che tale regolarità ci consente di tracciare la retta tangente a Γ in un suo generico punto come mostrato nell'animazione grafica di fig. 1.
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