[¯|¯] Calcolo di limiti con il Principio di sostituzione degli infinitesimi

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Il Principio di sostituzione degli infinitesimi può essere utilizzato nel calcolo di limiti di funzioni che presentano indeterminazione.

Numeratore e denominatore sono manifestamente infinitesimi in x=0, onde il loro rapporto da luogo alla forma indeterminata 0/0. Determiniamo l'ordine dei singoli addendi. A tale scopo osserviamo che tenendo conto del limite fondamentale

si ha

per cui 5^2x-1 è del primo ordine rispetto a x. Più specificatamente, sussiste l'equivalenza tra infinitesimi:

Per quanto riguarda la funzione arctan sappiamo che

Perciò

Segue

In altri termini il primo addendo a numeratore è un infinitesimo del secondo ordine. Passiamo al secondo addendo

È chiaro che dobbiamo calcolare l'ordine di 1-cos³x per poi applicare il teorema del prodotto di infinitesimi. Quindi scriviamo

Ossia 1-cos³x si fattorizza nel prodotto dell'infinitesimo 1-cos x (del second'ordine) per un termine che converge a 3. Perciò 1-cos³x è del second'ordine e il suo quadrato è del quart'ordine. Tutto ciò implica che a numeratore possiamo trascurare (1-cos³x)². Passiamo ora al denominatore, il cui primo addendo è

Cambiamo la variabile in t=arcsin x:

Ma tan t è del primo ordine => tan³(arcsin x) è del terzo ordine. Il secondo addendo è apparentemente più complicato

Dal limite fondamentale

si ha

onde 1-(1+x)^4/5 è del primo ordine. L'altro termine

Quindi ln(1+3x) è del primo ordine. Per il teorema del prodotto

Questo significa che a denominatore possiamo trascurare tan³(arcsin x). Allora per il Principio di sostituzione degli infinitesimi si ha:

Si tratta ora di sostituire i singoli infinitesimi con le rispettive parti principali. Abbiamo visto che

Inoltre

Finalmente

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