Fig. 1. Le curve in tratteggio sono i grafici di f1(x)=2(1-cos x) e f2(x)=xsin x. La curva in blue è il grafico della somma f1(x)+f2(x), da cui vediamo che tale funzione è un infinitesimo dello stesso ordine di f1 e f2. La curva in rosso, invece, è il grafico della differenza, e vediamo che si tratta di un infinitesimo di ordine superiore a f1 e f2..
Si badi che l'ipotesi del teorema precedente richiede
In altri termini gli infinitesimi f1(x),...,fn(x) hanno tutti ordine diverso. Ciò implica il seguente corollario:
Corollario
La somma di n infinitesimi dello stesso ordine α è un infinitesimo di ordine non minore di α.
Dimostrazione
Siano f1(x),...,fn(x) infinitesimi in x0, per cui:
dove u(x) è l'infinitesimo di riferimento. Posto
si ha
Ne consegue
onde l'asserto.
c.d.d.
Esempio
Siano dati gli infinitesimi (in x=0)
entrambi di ordine α=2. Consideriamo la loro somma
Calcoliamo
onde f(x) è dello stesso ordine di f1(x) e f2(x). Se invece eseguiamo la differenza
si ha
per cui f1(x)-f2(x) è di ordine maggiore di 2. Per esplicitare l'ordine calcoliamo
onde g(x) è di ordine ß=4. Tali risultati sono graficati in fig. 1
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