[¯|¯] Un corollario inaspettato
giovedì, Marzo 2nd, 2017
Fig. 1. Le curve in tratteggio sono i grafici di f1(x)=2(1-cos x) e f2(x)=xsin x. La curva in blue è il grafico della somma f1(x)+f2(x), da cui vediamo che tale funzione è un infinitesimo dello stesso ordine di f1 e f2. La curva in rosso, invece, è il grafico della differenza, e vediamo che si tratta di un infinitesimo di ordine superiore a f1 e f2..
Si badi che l'ipotesi del teorema precedente richiede
In altri termini gli infinitesimi f1(x),...,fn(x) hanno tutti ordine diverso. Ciò implica il seguente corollario:
Corollario
La somma di n infinitesimi dello stesso ordine α è un infinitesimo di ordine non minore di α.
Dimostrazione
Siano f1(x),...,fn(x) infinitesimi in x0, per cui:
dove u(x) è l'infinitesimo di riferimento. Posto
si ha
Ne consegue
onde l'asserto.
c.d.d.
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