Fig. 2
Esempio 1
Siano dati gli infinitesimi (per x->0):
Il rapporto è non regolare
Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché:
Tuttavia
Ne consegue che f(x)=xsin(1/x) è (in x=0) un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x)=x. In fig. 1 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.
Fig. 1. Grafico delle funzioni f(x)=xsin(1/x) e g(x)=xsin²(1/x) entrambe infinitesime per x->0. Il rapporto |f(x)|/|g(x)| è limitato inferiormente ma non superiormente, per cui f(x) è di ordine non superiore a g(x).
Esempio 2
Siano
Si tratta di infinitesimi in x=0. Il primo limite è ben noto:
Il secondo è meno immediato, ma facilmente dimostrabile applicando il teorema dei carabinieri:
Confrontiamo i due infinitesimi eseguendo il rapporto:
Ma
Ne consegue che f(x)=xsin(1/x) è (in x=0) un infinitesimo di ordine non superiore a g(x)=xsin²(1/x). In fig. 1riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.
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