Fig. 1
Esercizio
Classificare i punti di discontinuità della funzione
Soluzione
Tale funzione non è periodica, giacché non lo è la base. È definita per
La disequazione non può essere risolta analiticamente, per cui si ricorre alla via numerica, calcolando dapprima la radice dell'equazione
ottenendo
Utilizzando Mathematica tracciamo il grafico di
ottenendo il plot di fig. 2.
Fig. 2
da cui vediamo
Tale conclusione è corroborata dal grafico di fig 3.
Fig. 2
Ne consegue che la funzione assegnata è definita in
Da ciò segue che in x=0 la funzione non è definita. Calcoliamo dunque
Per rimuovere l'indeterminazione applichiamo il procedimento standard forzando la base:
da cui
Dalla (6)
mentre il limite diventa
essendo
Il primo limite è immediato. Infatti basta porre
onde
mentre
Calcoliamo λ2
Anziché applicare la regola di De L'Hospital, dividiamo numeratore e denominatore per x:
Calcoliamo
dove ci siamo serviti del limite noto
Ne consegue
Finalmente
cosicché x=0 è un punto di discontinuità eliminabile. Restano da classificare gli infiniti punti di discontinuità
Osservando che le predette discontinuità provengono dall'esponente cotx, occorre e basta studiare il comportamento della funzione in un intorno di &pi:, calcolando
Calcoliamo il limite sinistro:
Calcoliamo il limite destro:
Ne concludiamo che x=π è un punto di discontinuità di seconda specie e tali saranno gli infiniti punti:
Infine:
In fig. 1 riportiamo il grafico della funzione in [0,2π].
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