Fig. 1
Studiare il comportamento della funzione illustrata in fig. 1, agli estremi del suo campo di esistenza.
Soluzione
La funzione è definita in X=R-{0}, ed è istruttivo studiarne il segno.
onde la funzione è positiva in X. Studiamo il comportamento in un intorno del punto di accumulazione x=0. Precisamente:
L'indeterminazione è prodotta dal numeratore, per cui calcoliamo a parte
mentre
giacché et è, per t->+oo, un infinito di ordine infinitamente grande. Segue
Ne consegue che l'asse y è asintoto verticale a destra per il grafico della funzione.
Dal momento che la funzione è positiva nel suo insieme di definizione, deve essere:
Calcoliamo
Cioè troviamo la forma indeterminata 0·oo sia a numeratore che a denominatore. Consideriamo l'espansione del coseno iperbolico in esponenziali, secondo la consueta definizione di coshx:
Segue
Siamo pertanto riusciti a rimuovere l'indeterminazione a denominatore. Calcoliamo a parte
che è un caso particolare del limite fondamentale
Pertanto
Da tale risultato emerge che la funzione è convergente per x->+oo e il limite vale 2. In termini geometrici, ciò implica che la retta y=2 è asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione. Ora calcoliamo
cioè nuovamente la forma indeterminata 0·oo sia a numeratore che a denominatore. Utilizzando l'artificio precedente:
Il limite a denominatore è +oo, mentre il limite a numeratore
onde
ovvero la funzione è infinitesima per x->-oos.
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