Spirale di Cotes

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Studiare il moto di un punto materiale di massa m che si muove nel campo centrale di energia potenziale:

Soluzione

È conveniente lavorare sulla seconda forma dell'equazione delle orbite che qui riscriviamo

L'energia potenziale efficace è

per cui la predetta equazione diviene

che è un'equazione differenziale del secondo ordine lineare e a coefficienti costante. Per la ricerca dell'integrale generale è conveniente definire la seguente grandezza adimensionale:

onde

Studiamo i tre casi separatamente. Nel primo, l'integrale generale è

Le condizioni iniziali sono del tipo

Ricordando la relazione tra la variabile u e il raggio vettore r, si perviene a

essendo

In tal modo possiamo determinare i valori delle costanti arbitrarie A,B, ottenendo l'integrale particolare

e quindi l'equazione della traiettoria in coordinate polari:

Si noti che gli eventuali zeri del denominatore equivalgono a punti di infinito per la funzione r(φ). Fisicamente significa che l'orbita è aperta (la particella fugge all'infinito). Nel secondo caso l'equazione differenziale si riduce a u''(x)=0 che integrata con le suddette condizioni iniziali, fornisce

Passiamo all'ultimo caso:

il cui integrale generale è

Calcoliamo l'energia meccanica

Se

l''energia meccanica è negativa e siccome l'energia potenziale è definita negativa, la particella verrà a trovarsi in uno stato legato, ovvero l'orbita è limitata. Ciò può essere visto anche dalla soluzione trovata:

giacché il denominatore non si annulla mai, e quindi r(?) è limitata. In particolare se u0'<0, l'orbita è la spirale di Cotes, graficata in fig. 1, per