Consideriamo un sistema quanto-meccanico costituito da una particella non relativistica di massa m vincolata a muoversi su una retta che assumiamo come asse x di un sistema di riferimento inerziale. Per ipotesi la particella è al più sottoposta a un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x), per cui l'operatore hamiltoniano è:
La funzione d'onda ψ(x,t) della particella, soddisfa l'equazione di Schrödinger che in forma operatoriale si scrive:
Dal momento che H compare come una costante, tale equazione si integra per separazione di variabili, dopo aver impostato il seguente problema di Cauchy:
essendo t0 un istante iniziale assegnato, mentre H è lo spazio di Hilbert associato al sistema. Il predetto problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione:
Tenendo conto della dipendenza funzionale di ψ da x, tale soluzione assume la forma:
che può essere interpretata nel seguente modo: lo stato quantistico della particella al tempo t, è il risultato dell'applicazione del seguente operatore unitario:
allo stato iniziale ψ0.
Conclusione
L'evoluzione temporale della funzione d'onda di un sistema quantistico è una processo deterministico. Più precisamente, è una trasformazione unitaria dello spazio di Hilbert in sè, associato al sistema.
Si noti che l'unitarietà della trasformazione è vitale affinché si conservi la norma della funzione d'onda iniziale, il cui quadrato si assume pari a 1:
Dall'interpretazione di Born segue la densità di probabilità nella posizione a t0:
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