[¯|¯] Caratterizzazione dell'insieme di Cantor attraverso un importante teorema

Marcello Colozzo

9 anni fa

Introduciamo una particolare notazione per gli estremi degli intervalli che compongono la k-esima iterazione che porta alla definzione dell'insieme di Cantor. A tale scopo scriviamo:

Denotiamo con A^(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi sinistri dei singoli intervalli I^(k)_j, cioè

e con B^(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi destri dei predetti intervalli:

Ad esempio, per k=1

Per k=2

Per maggiore chiarezza, vedere la figura:

La k-esima iterazione definisce altri due sottoinsiemi di [0,1]:s

Cioè X^(k) è l'insieme di tutti e soli i punti la cui espansione ternaria (i.e. in base 3) è di ordine k e non contiene 1.
Osservazione

In genere un'espansione in base b>1 di un reale x in (0,1) è del tipo

Si dice, invece, di ordine k, se la predetta serie è troncata al k-esimo termine:

L'altro insieme è

Ricordiamo che Δ^(k) è l'ampiezza del singolo intervallo che compone la k-esima iterazione C_k:

per cui i punti di Y^(k) sono i punti di X^(k) traslati di Δ^(k) nel verso positivo dell'asse x. Inoltre, dalla proposizione dimostrata in una lezione precedente:

Per k=1

Cioè

Per k=2

Cioè

Procedendo per induzione:

Dopo questa lunga premessa, definiamo l'insieme:

A differenza di X^(k) che contiene l'espansione ternaria di ordine k dei reali in (0,1) priva dell'intero 1, l'insieme C_* è la totalità delle espansioni reali (quindi di ordine arbitrario) di x in (0,1) e tale espansione non contiene l'intero 1. Dimostriamo il teorema
Teorema

Dimostrazione
Si tratta di dimostrare

Inclusione diretta
Ricordiamo che l'insieme di Cantor è per definizione:

ed è un insieme chiuso per cui

essendo D(C) il derivato di C, i.e. l'insieme dei punti di accumulazione per C. Quindi per dimostrare l'inclusione diretta occorre e basta provare che ogni elemento di C_* è di accumulazione per C. Intanto vediamo che per come abbiamo definito C_*, i suoi elementi sono tutti e soli a_j^(k) per qualunque k. Cioè