[¯|¯] L'insieme di Cantor e la rappresentazione in base 3

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Dal momento che nella costruzione dell'insieme di Cantor entrano in gioco intervalli di ampiezza 1/3^k, si ha che tale insieme deve essere in qualche modo collegato alla rappresentazione dei reali x appartenenti all'aperto (0,1) in base 3. Infatti l'espansione in base 3 di x del predetto intervallo si scrive:

essendo in generale

dove b>1 è la base della rappresentazione. Se b=10 si ha per così dire l'espansione usuale, cioè in base 10

Esempio

onde

Esempio


Scriviamo la rappresentazione in base 3 del numero periodico 0.020202...

Ma

per cui

In che modo l'insieme di Cantor è collegato all'espansione in base 3? Per rispondere a questa domanda guardiamo il procedimento ricorsivo che restituisce il k-esimo insieme C_k:

Per k=1

Se osserviamo gli estremi dell'intervallo rimosso, cioè i punti 1/3 e 2/3, ci rendiamo conto che

Cioè nella rappresentazione in base 3, al primo step (k=1) rimuoviamo l'intervallo aperto di estremi (0.1)₃,(0.2)₃. Il secondo step ricorsivo (k=2) restituisce l'insieme

Qui vediamo che sono stati rimossi gli intervalli aperti

Ma








ione in base 3 di 7/9 e 8/9 si ottiene scrivendo dapprima:

cioè dobbiamo aggiungere (0.2)₃

Allo stesso modo per l'altro estremo

Quindi al secondo step vengono rimossi gli intervalli aperti di estremi

come illustrato in figura 1.
Riassumendo: al primo passo vengono rimossi tutti i punti

Al secondo passo:

e così via

In definitiva

Ne concludiamo che l'insieme di Cantor contiene l'insieme dei reali x in [0,1] la cui espansione ternaria non contiene 1.

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