Nella MWI in seguito all'operazione di misura di una osservabile quantistica, l'universo si riproduce in N copie, ove N è la cardinalità dello spettro degli autovalori dell'osservabile medesima. Detto in altro modo, in MWI l'operazione di misura restituisce un multiverso. Tale ente è, a nostro avviso, topologicamente schematizzabile attraverso una varietà topologica sconnessa (i.e. non è possibile trovare almeno una coppia di aperti disgiunti in grado di eseguire un ricoprimento della varietà). In questo modello i singoli aperti (>=2) rappresentano i singoli universi che appaiono in tal modo topologicamente disgiunti. Congetturiamo, poi, che i singoli aperti siano topologicamente connessi, onde per un teorema che dimostreremo in quest'articolo, la dimensione dei predetti aperti (quindi dei singoli universi) è un invariante topologico, ovvero costante in ogni universo. Ciò potrebbe essere una conseguenza del Principio Antropico che esige uno spazio connesso (nel caso contrario non potremmo spostarci da un punto all'altro). Al contrario, dal momento che il multiverso è una varietà topologica sconnessa, potrebbe non avere dimensione costante.
Se M=(S,Θ) è una varietà topologica deve aversi
dove np è la dimensione di M nel punto p. In tal modo la dimensione di M risulta essere un'applicazione da M a N:
Proposizione
Condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché np sia un invariante topologico i.e. sia indipendente da p, è che M sia uno spazio topologico connesso.
Dimostrazione
Sia
Cioè M' è l'insieme dei punti di M in cui la dimensione di M è np0. Si noti che M' non è vuoto poiché contiene almeno il punto p0.
Prendendo ad arbitrio un punto q di M, può presentarsi uno dei due casi:
Nel primo caso:
Segue
ovvero Uq è un intorno di q', per cui
Allo stesso modo:
Si ha
Per ipotesi M è uno spazio connesso, quindi per un noto teorema gli unici sottoinsiemi di M simultaneamente aperti e chiusi sono Ø ed M. Per quanto precede, M' non è vuoto, per cui M=M', cioè l'asserto.
c.d.d.
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